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Función cuadrática

Función cuadrática
Gráfica de Función cuadrática
Definición	$f(x) = ax^2 + bx + c \,$
Tipo	Curva parabólica
Dominio	$\mathbb{R}$
Imagen	$[-\frac{b}{2a},+\infty) o (-\infty ,-\frac{b}{2a} ]$
Cálculo infinitesimal
Derivada	$f'(x) = 2ax + b \,$
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En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

y = ax^2 + bx + c \,

con

a \ne 0

.¹

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales

f(x) = 0 \

. Son denotadas habitualmente como:

x_1

x_2

, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \$ .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}

Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero:

-\frac{b}{2a} . \,\!

La parábola es tangente al eje X.

La parábola no corta al eje X.

El único caso restante es que el discriminante sea negativo. En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},

Representación analítica

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

f(x) = ax^2 + bx + c \,

con

a \neq 0

Forma facto rizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma facto rizada en función de sus raíces como:

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

siendo a el coeficiente principal de la función, y

x_1

x_2

las raíces de

f(x)

. En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces

x_1 = x_2

por lo que la factorización adquiere la forma:

f(x) = a(x - x_1)^2 \,

En este caso a

x_1

se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.²

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

f(x) = a (x - h)^2 + k \,

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación gráfica

Intersección con el eje y[editar]

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,

lo que resulta:

y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x[editar]

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

y = ax^2 + bx + c \,

es decir:

y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremo

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada:

f(x) = ax^2+bx+c\,

, la coordenada x del vértice será simplemente:

x = \frac{-b}{2a}

. La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica:

f(x)=a (x-h)^2+k \,

, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)

la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

y = ax^2 + bx + c \,

calculamos su derivada respecto a x:

\frac{dy}{dx} ax^2 + bx + c = 2ax + b

que si la igualamos a cero, tenemos:

2ax + b = 0 \,

donde x valdrá:

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

\frac{d^2y}{dx^2} \; ax^2 + bx + c = \frac{dy}{dx} \; 2ax + b = 2a

esto es: 2a será positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Ejemplo 1

Dada la función:

y = (x^2).3 - x - 23 \,

Observación : Es indiferente notar "y" o notar "f(x)". Ambas expresiones hacen referencia a la imagen de x obtenida a través de la función trabajada.

Calculamos su derivada primera:

\frac{dy}{dx} \; (x^2).3 - x - 23 = 6x - 1

Esta derivada valdrá cero:

\frac{dy}{dx} = 0

cuando:

6x - 1 = 0 \,

esto es:

6x = 1 \,

x = \cfrac{1}{6}

Esta función presenta un extremo relativo para

x = \frac{1}{6}

, veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

\frac{d^2y}{dx^2} \; (x^2).3 - x - 23 = \frac{dy}{dx} \; 6x - 1 = 6

Que es 6, dado que 6 es un valor positivo, la función es cóncava, y el extremo relativo que presente para:

x = \cfrac{1}{6}

, es un mínimo.

Obs. Observando el signo de la constante "a" podemos saber de antemano si estamos ante un mínimo o un máximo. Entonces para a<0 tendremos un máximo y para a>0 un mínimo.

Ejemplo 2

Dada la función:

y = -x^2 + 4x + 5 \,

Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:

\frac{dy}{dx} \; -x^2 + 4x + 5 = -2x + 4

Esta derivada valdrá cero cuando:

-2x + 4 = 0 \,

esto es:

2x = 4 \,

que resulta:

x = 2 \,

Para

x = 2

, la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de

x^2

, es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en

x = 2

pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.

Otros procedimientos

Si es posible factorizar en la forma $y = a(x - x_1)(x - x_2) \,$ , se halla el máximo del producto de los dos factores binómicos, teniendo en cuenta que

tal caso ocurre si los factores son iguales, luego haciendo

x -x_1 = x - x_ 2 \,

se obtiene

x = (x_1 + x_2)/ 2 \,

o bien

x = -b/2a \,

.³ El signo de a determina si es mínimo o máximo.

La forma canónica se puede escribir como $1/af(x) = (x - h)^2 + k/a \,$ , donde el segundo término conlleva un cuadrado, que es ≥ 0; pero en el segundo miembro si k/a es positivo, hay mínimo con x = h; si k/a es negativo, se obtiene un máximo si x = h.⁴ Todo ello para la función g(x)= 1/af(x).

Presencia

En cinemática

en la ecuación del espacio en caso del movimiento uniforme acelerado:

f(x) = a t^2 + v_0t + e_0 \,

, donde a aceleración,

v_0\,

, velocidad inicial,

e_0 \,

espacio inicial y t, variable del tiempo.,⁵

En geometría

En el área total de un cilindro, como función del radio de la base; de l modo en el área total del cono, en función del radio.

En el área total de un prisma cuadrado, función del lado de la base, altura constante, lo mismo para la pirámide cuadrada.⁶

Presencia histórica

Arquimesas calculó el área de un sector parabólico, limitado por un rectángulo, en términos modernos según la función

x= f(y) = y^2 \,

.⁷

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Partiendo de la forma de la ecuación:

y = ax^2 +bx +c \,

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

(x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3)

se cumplirá que:

\left \{ \begin{matrix} y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c \\ y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c \\ y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c \end{matrix} \right .

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

\left \{ \begin{matrix} ax_{1}^2 +bx_1 +c = y_1 \\ ax_{2}^2 +bx_2 +c = y_2 \\ ax_{3}^2 +bx_3 +c = y_3 \end{matrix} \right .

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

a = \cfrac{ \left | \begin{matrix} y_1 & x_1 & 1 \\ y_2 & x_2 & 1 \\ y_3 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }

, \quad b = \cfrac{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & y_1 & 1 \\ x_{2}^2 & y_2 & 1 \\ x_{3}^2 & y_3 & 1 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }

, \quad c = \cfrac{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & y_1 \\ x_{2}^2 & x_2 & y_2 \\ x_{3}^2 & x_3 & y_3 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }

Inecuaciones Cuadráticas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 .
Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o como conjunto.
Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.

Introducción

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

En el tutorial de Ecuaciones Cuadráticas, vimos que la gráfica de y= a x 2 + b x + c es una parábola. En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre a x 2 + b x + c < 0 y a x 2 + b x + c >0.
Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuación y = x 2 + 4 x - 5 al escoger a = 1,b = 4 y c = -5en la siguiente aplicación:

Ahora notamos lo siguiente:

x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0.Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.
Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes.
Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativos asi x 2 + 4 x - 5 <0 . Los puntos se ven en rojo.
Cuando x > 1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.

Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5 < 0 y x 2 + 4 x - 5 >0 .

Usar la aplicación de arriba para encontrar los valores de x consistentes con:

x 2 + 6 x - 7 = 0 , x 2 + 6 x - 7 < 0 y x 2 + 6 x - 7 > 0
x 2 - 3 x - 10 = 0 , x 2 - 3 x - 10 < 0 y x 2 - 3 x - 10 > 0
x 2 - 6 x + 8 = 0 , x 2 - 6 x + 8 < 0 y x 2 - 6 x + 8 > 0

Veamos otro caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3,b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba.
Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, la solución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 < 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la gráfica tenga valores menores o iguales a cero en el eje y, es decir, los valores de x para los cuales la gráfica está por debajo del eje x. Pues ninguno de los valores dex satisface ese criterio, la solución de esta inecuación es el conjunto vacío.

Analicemos un tercer caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2 x + 1 . Para ello escogemos a = 1, b = -2 y c = 1, la gráfica resultante es:

Este caso es muy parecido al caso anterior, la gráfica está por encima del eje x, sin embargo, toca el eje x en un punto. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el conjunto de todos los números reales. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 < 0 , es el conjunto vacío. La solución de la inecuación x 2 - 2 x +1 > 0 , es el conjunto de todos los números reales, excepto el punto donde toca el eje x, x=1. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el punto donde toca el eje x, x=1.

En resumen, para resolver inecuaciones cuadráticas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como puntos críticos de la inecuación y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.

Método para resolver in ecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + b x + c < 0
Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

Como intervalo
Como conjunto

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 . En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.

Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x + 5 = 0 x = - 5

x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , - 5 )	x = -6	( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7
( - 5 , 1 )	x = 0	( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5
( 1 , ∞ )	x = 2	( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:x x ≤ -5 ó x ≥ 1
Expresando la solución como intervalo( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ )
Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 2 x 2 - x < 6

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. Para ello necesitamos que el lado derecho de la inecuación sea igual a cero. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para obtener la forma general.

2 x 2 - x < 6 2 x 2 - x - 6 < 6 - 6 2 x 2 - x - 6 < 0

2 x 2 - x - 6 = ( 2x + 3 ) ( x - 2 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

2x + 3 = 0 x = - 3 2

x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , - 3 2 )	x = -2	2 ( - 2 ) 2 - ( - 2 ) - 6 = 4
( - 3 2 , 2 )	x = 0	2 ( 0 ) 2 - ( 0 ) - 6 = - 6
( 2 , ∞ )	x = 3	2 ( 3 ) 2 - ( 3 ) - 6 = 9

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser < 0 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:x x < - 3 2 ó x > 2
Expresando la solución como intervalo( - ∞ , - 3 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )
Gráficamente

Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación x 2 - 4 x + 4 > 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.

x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2 ) ( x - 2 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
En este caso solo tenemos un punto de prueba.

x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 2 )	x = 0	( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) + 4 = 4
( 2 , ∞ )	x = 3	( 3 ) 2 - 4 ( 3 ) + 4 = 1

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que ambos intervalos cumplen con ser > 0 . Se debe tener en cuenta que en este caso, no debemos incluir en la solución el punto de prueba, ya que en este punto la desigualdad es falsa (es exactamebte igual a cero).
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:x x < 2 ó x > 2
Expresando la solución como intervalo( - ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )
Gráficamente

SISTEMAS CUADRATICOS

lunes, 4 de mayo de 2015

SISTEMAS CUADRATICOS

Función cuadrática

Raíces

Representación analítica

Forma desarrollada o polinómica

Forma facto rizada

Forma canónica

Representación gráfica

Intersección con el eje y[editar]

Intersección con el eje x[editar]

Extremo

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Otros procedimientos

Presencia

Presencia histórica

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Inecuaciones Cuadráticas

Objetivos

Introducción

Método para resolver in ecuaciones cuadráticas

Ejemplos